Μαθηματικά – Τα μήλα του… κυρίου Σαμ

Ο Σαμ Λόιντ (1841-1911) μέχρι τα τριάντα του ασχολήθηκε με τις σκακιστικές ασκήσεις, αλλά από εκεί και μετά τον απορρόφησαν τα μαθηματικά προβλήματα μαζί και με κάποια όπου έπρεπε να μετασχηματίσει ο αγοραστής με… διαβολικό τρόπο μια σειρά από εικόνες. Μέχρι τον θάνατό του έδωσε στη δημοσιότητα περισσότερα από δέκα χιλιάδες προβλήματα και ακόμη οι συλλέκτες ψάχνουν και βρίσκουν σε διάφορα έντυπα ξεχασμένα προβλήματά του. Στις 10 Απριλίου του 1911 ο Σαμ Λόιντ απεβίωσε στο σπίτι του, στο Μπρούκλιν της Νέας Υόρκης.

Οι πωλήτριες των μήλων

Ενα από τα πλέον ευφάνταστα προβλήματα που είχε επινοήσει ο Σαμ ήταν αυτό για τις δύο πωλήτριες μήλων σε υπαίθρια αγορά, την Α και τη Β, που πωλούσαν η μία τα δικά της μήλα τα 2 προς 1 ευρώ (εδώ έγινε ο απαραίτητος εκσυγχρονισμός στα νομίσματα), ενώ η άλλη τα έδινε τα 3 προς 1 ευρώ. Κάποια στιγμή η Β χρειάστηκε να αφήσει επειγόντως το πόστο της και παραδίδει τα μήλα της, που εκείνη τη στιγμή ήταν ίσα σε πλήθος με τα μήλα της άλλης,  στην Α. Εκείνη ανακατεύει τις δύο κατηγορίες  μήλων και αρχίζει να πουλάει τα 5 προς 2 ευρώ. Τα πούλησε όλα και την επόμενη ημέρα ήλθε η ώρα της μοιρασιάς των χρημάτων. Πήραν από μισά η κάθε μία, όμως βρέθηκε ότι κάπου έλειπαν 7 ευρώ. Το πρόβλημα ζητούσε να βρεθεί πόσα έχασε η Α από αυτή την ιστορία.

Λύση

Πριν φύγει η Β, η τιμή πώλησης ήταν (1/2) του ευρώ για το ένα από τα μήλα της Α και (1/3) του ευρώ για τα μήλα της Β. Αρα αν αγοράζαμε ένα από τη μία και ένα από την άλλη θα πληρώναμε (1/2) + (1/3) = (5/6) για τα δύο, άρα το ένα μήλο σε αυτή την περίπτωση, ανεξάρτητα από το μέγεθος, θα λέγαμε ότι κοστίζει το μισό των (5/6), δηλαδή (1/2) (5/6) = (5/12). Οταν άρχισε η πώληση των μήλων ανά 5 για 2 ευρώ, ίσχυε ότι η τιμή του ενός μήλου, όποιο και να ήταν, θα πρέπει να λογιζόταν ως (2/5) του ευρώ. Και για να έχουμε πιο συγκρίσιμους αριθμούς, τα (5/12) και (2/5) τα γράφουμε (ως ομώνυμα κλάσματα) αντίστοιχα: (25/60) και (24/60). Αρα με την πώληση των 5 μήλων προς 2 ευρώ χανόταν από τον αρχικό τρόπο πώλησης (πριν φύγει η Β) (1/60) του ευρώ για κάθε μήλο. Και έτσι δικαιολογείται το ότι τους έλειπαν 7 ευρώ από ό,τι είχαν υπολογίσει πως θα έπαιρναν αν συνέχιζαν να πωλούν τα μήλα τους με τις αρχικές τιμές. Αλλά τότε, διαιρώντας τα 7 ευρώ με το (1/60) για κάθε μήλο βρίσκουμε 420, δηλαδή τον αριθμό των μήλων που πωλήθηκαν συνολικά από τη στιγμή που έφυγε η Β. Αρα η κάθε μία είχε από 210 μήλα. Η Α αν συνέχιζε να πουλάει χωριστά τα μήλα της θα εισέπραττε 105 ευρώ. Αφού όμως πωλήθηκαν τα 5 προς 2 ευρώ εισέπραξε στο μερίδιό της (210/5) Χ 2 = 84 ευρώ. Αρα έχασε 21 ευρώ. Αντίθετα η Β, αντί να εισπράξει κανονικά (210/3) Χ 1 = 70 ευρώ, με την αλλαγή στον τρόπο πώλησης  εισέπραξε 84 ευρώ.

Πνευματική Γυμναστική

1. Ενα ποταμόπλοιο όταν πλέει κόντρα στη ροή των νερών διανύει τα 16 μίλια σε 2 ώρες ενώ πηγαίνοντας με τη ροή των νερών σε 3 ώρες διανύει 36 μίλια. Ποια είναι η ταχύτητα του πλοίου αν δεν υπήρχε η ροή των νερών και ποια η ταχύτητα των νερών του ποταμού;
2. Εδώ έχουμε ένα ακόμη πρόβλημα του Σαμ Λόιντ, απλό μεν, που όμως ο «εφευρέτης» του έβαλε τον πήχη πιο ψηλά. Συγκεκριμένα, έχουμε σε ένα μικρό ορθογώνιο κομμάτι κήπου 3 Χ 4 τετραγωνικών μέτρων να πρέπει να φτιάξουμε ένα ορθογώνιο με επιφάνεια τη μισή από το αρχικό ορθογώνιο, όπου θα φυτευτούν διάφορα φυτά. Ζητείται το εύρος του περιθωρίου γύρω από αυτό. Ζητήθηκε όμως και κάτι άλλο, αρκετά πιο δύσκολο, από τον Σαμ: Να υποδειχθεί ένας κανόνας που να βρίσκει αυτόματα το εύρος του περιθωρίου ώστε το εσωτερικό να έχει το μισό εμβαδόν για οποιεσδήποτε διαστάσεις.

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

Την προηγούμενη εβδομάδα ο Σαμ Λόιντ ήταν υπεύθυνος και για την «πνευματική γυμναστική» σας:

1. Τέσσερις γάτες και τρία γατάκια ζυγίζουν 37 κιλά. Τρεις γάτες και τέσσερα γατάκια ζυγίζουν 33 κιλά. Πόσο ζυγίζει μια γάτα και πόσο ένα γατάκι (θεωρώντας πως σε κάθε σύνολο (γάτες, γατάκια) τα μέλη του ζυγίζουν ακριβώς το ίδιο); Ξεκινούμε από τη διαφορά στο συνολικό βάρος (37 προς 33) που αντιστοιχεί στη διαφορά βάρους που υπάρχει ανάμεσα σε μια γάτα και ένα γατάκι. Αν λοιπόν φανταστούμε πως στην πρώτη περίπτωση αντί για 4 γάτες και 3 γατάκια είχαμε 7 γάτες, τότε το βάρος τους θα ήταν 37 + (3 Χ 4) = 49 κιλά. Οπότε η μία γάτα θα πρέπει να ζυγίζει 7 κιλά και το γατάκι 7 – 4 = 3 κιλά.
2. Ξεκινώντας στην παλιά εποχή για ένα από τα μεγάλα υπαίθρια πανηγύρια χρησιμοποιήθηκαν όλες οι άμαξες της κωμόπολης και η κάθε μία κουβαλούσε ακριβώς τον ίδιο αριθμό ανθρώπων. Στο μέσον της διαδρομής 10 άμαξες δεν άντεξαν το βάρος τους και έτσι αναγκάστηκαν να φορτώσουν από έναν ακόμη επιβάτη στις υπόλοιπες. Στην επιστροφή διαπίστωσαν πως ακόμη 15 ήταν εκτός λειτουργίας και έπρεπε να φορτωθούν οι υπόλοιπες με 3 περισσότερους από όσους είχαν το πρωί. Πόσος κόσμος μεταφέρθηκε με τις άμαξες; Αν Α ήταν οι άμαξες και Π τα πρόσωπα που επέβαιναν στο ξεκίνημα, σε κάθε μία αυτές, τότε συνολικά έχουμε Α επί Π, να είναι ο αριθμός των προσώπων που αναχώρησαν. Στη συνέχεια έχουμε ότι έμειναν (Α -10) άμαξες και στην κάθε μία από αυτές ήταν (Π + 1) άτομα. Αρα μια εξίσωση θα είναι η: ΑΠ = (Α – 10)(Π +1). Ανάλογα σκεπτόμενοι για την επιστροφή με (10 + 15) λιγότερες άμαξες ισχύει ότι ΑΠ = [ Α – (10 + 15)](Π + 3). Οπότε λύνουμε το σύστημα και προκύπτει ότι Α = 100 και Π = 9.