Επιστροφή από το διάλειμμα. Τα παιδιά δεν ξέρουν ακόμη τι είναι αριθμός αλλά πλέον από την προηγούμενη «ώρα» έμαθαν ότι σε ένα «κράτος» (λέγεται Τοπολογία) εκεί, δύο «σχήματα» τα θεωρούν ίδια αν μόνο με τέντωμα ή πίεση (κανένα κόψιμο ή κόλλημα άκρων) να μπορεί το ένα να μοιάσει στο άλλο. Ετσι ένα λαστιχένιο τετράγωνο θα θεωρούμε πως γίνεται και τρίγωνο ή κύκλος. Κάτι που δεν επιτρέπεται στο κράτος της… Γεωμετρίας.

Αν όμως σε κάποιο σχήμα «φυτρώνουν» σε σημείο ή σημεία περισσότερα από δύο κλαδιά, όπως στα οχτάρια, στα σχήματα με θηλιές, στο γράμμα Θ, αυτά θα πάνε αλλού. Η κρίσιμη ερώτηση εδώ που μπορεί να την κάνει και ένα παιδί είναι: «Τελικά πόσα σχήματα έχουμε;». Για την απάντηση αρκεί να ζωγραφίσουμε μια απλή γραμμή και σε αυτήν να σχεδιάσουμε επάνω της μια άλλη έστω μικρότερη σε μήκος που να την τέμνει. Ακολουθεί δίπλα και άλλη με δύο τέτοιες, εγκάρσιες στην αρχική, γραμμές. Συνεχίζουμε να αυξάνουμε και να γεμίζουμε το χαρτί ή τον πίνακα. Το συμπέρασμα είναι πως υπάρχουν τέτοια σχήματα ατελείωτα πολλά (δεν έχει νόημα να αναφερθεί εδώ η λέξη «άπειρα» αφού ακόμη δεν έχουν εμφανιστεί οι αριθμοί).

Πολυπλοκότητα με… λουκουμάδες!

Υπάρχουν όμως σχήματα που μαγνητίζουν περισσότερο το ενδιαφέρον μας. Η ευθεία και ο κύκλος έρχονται αμέσως στο μυαλό. Ομως μια στιγμή. Αν ζούμε στο κράτος της Τοπολογίας και έχουμε ένα κομμάτι ευθύ σύρμα αυτό δεν μπορούμε να το λυγίσουμε και να προκύψει ένας κύκλος; Η απάντηση είναι όχι, διότι αυτές οι δύο άκρες της ευθείας είναι κάτι το ιδιαίτερο και δεν επιτρέπεται έτσι απλά να ενώνονται. Οπότε για να καθαρίσουμε εντελώς το έδαφος της περιοχής που ξεκινήσαμε να δουλεύουμε μαζί με τα παιδιά (στη συνέχεια θα επισκεφθούμε και περιοχές όπου εκεί θα φυτρώνουν και δέντρα και άλλα σχήματα με διπλά και τριπλά κλαδιά) λέμε πως έχουμε έλθει σε επαφή πρώτα με σχήματα  που δεν έχουν κάποια ξεχωριστά σημεία, ούτε άκρες ούτε σταυροδρόμια ούτε κλαδιά. Τέτοια είναι μια γραμμή που εκτείνεται τόσο πολύ ώστε δεν μπορούμε να δούμε τα άκρα της όσο και αν σηκωθούμε στις μύτες των ποδιών μας, ένας κύκλος, η πολύ λεπτή επιφάνεια ενός μπαλονιού (ξεκινήσαμε δηλαδή να εξερευνούμε κάτι που λέγεται πολυπλοκότητα, αλλά η λέξη είναι αρκετά περίπλοκη σε αυτό το στάδιο ακόμη και για να την εκστομίσουμε). Ακόμη και ένας μεγάλος λουκουμάς (ανθυγιεινός αλλά ευπρόσδεκτος αν προσγειωθεί μέσα σε μια τάξη την ώρα ενός τέτοιου μαθήματος) με το μεγάλο στρογγυλό άνοιγμα στη μέση κάνει παρέα με τα προηγούμενα σχήματα. Ενας δίσκος όμως του σερβιρίσματος ή από βινύλιο δεν «παίζει», διότι έχει όλα αυτά τα ιδιαίτερα σημεία που αποτελούν την περιφέρειά του. Τα σχήματα δηλαδή φτιάχνουν παρέες.

Και στην παρέα δεν θα παραλείψουμε να βάλουμε και μια λωρίδα χαρτί που πρώτα την στρίβουμε 1 ή 3 ή και 5 φορές (πάντα μονός αριθμός) κατά 180 μοίρες πριν κολλήσουμε τα  δύο άκρα της μεταξύ τους. Εκεί να δεις παιχνίδι, για μεγάλους και μικρούς, με μια επιφάνεια που έχει μόνο μία όψη!

Πνευματική Γυμναστική

1. Μια πάπια βρίσκεται στο κέντρο κυκλικής λίμνης ενώ έξω από τη λίμνη καραδοκεί αλεπού που όμως δεν μπαίνει στο νερό. Αλλά και η πάπια δεν μπορεί να πετάξει μακριά αν δεν πατήσει πρώτα στο χώμα. Η αλεπού τρέχει γύρω-γύρω με ταχύτητα τέσσερις φορές μεγαλύτερη από την ταχύτητα της πάπιας μέσα στο νερό. Μπορεί η πάπια να αποδράσει από αυτή τη δύσκολη κατάσταση και πώς;
2. Σε έναν μικρό φεουδαρχικό καταυλισμό με 66 μέλη υπάρχει ένας πρίγκιπας και 65 υπήκοοι. Μέχρι κάποια στιγμή είχαν όλοι για μισθό, μαζί και ο πρίγκιπας, από 1 χρυσό νόμισμα. Ο πονηρός πρίγκιπας όμως τώρα ξύπνησε και προτείνει κάθε τόσο και νέο μισθολόγιο. Το καθένα από αυτά το υπερψηφίζουν όσοι παίρνουν αύξηση και το καταψηφίζουν όσοι έχουν μείωση ενώ αδιαφορούν όσοι δεν έχουν μεταβολή. Γίνεται δεκτή κάθε φορά η αλλαγή αν υπάρχει πλειοψηφία υπέρ της. Ο πρίγκιπας δεν ψηφίζει. Ποιο ποσό από τα 66 νομίσματα μπορεί να φθάσει να παίρνει;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Σε μια παρέα ο Α και η Β έπρεπε να τραβήξουν από ένα φύλλο της τράπουλας (που δεν περιέχει τζόκερ). Δεν πρέπει να το γυρίσουν και να το δουν αλλά μόνο να το κρατήσουν ψηλά έτσι ώστε ο άλλος του ζευγαριού να μπορεί να το δει. Στη συνέχεια καλούνται να γράψουν ο καθένας τους τι χρώμα νομίζουν ότι έχει το χαρτί που κρατούν εκείνοι (μαύρο ή κόκκινο). Κερδίζουν αν ο ένας τουλάχιστον από τους δυο μαντέψει το σωστό χρώμα του χαρτιού που κρατάει. Απαγορεύονται τα νοήματα και οι κινήσεις χειλιών και ματιών. Πριν όμως ξεκινήσουν να τραβήξουν φύλλο, τους επιτρέπεται μια ολιγόλεπτη συνεννόηση. Οπότε συμφωνούν ο Α όποιο χρώμα δει στον απέναντι να γράψει και για το δικό του το ίδιο. Και ο Β ό,τι χρώμα δει να γράψει το αντίθετο. Διότι στην πραγματικότητα οι συνδυασμοί θα είναι Κόκκινο-Κόκκινο, Μαύρο-Μαύρο, Μαύρο-Κόκκινο, Κόκκινο-Μαύρο. Ο ένας θα πει ΚΚ ή ΜΜ και ο άλλος ΜΚ. Ενα από όλα θα το πετύχουν.
2. Είχαμε 4 άτομα που το καθένα παίρνει ένα φύλλο από την τράπουλα και χωρίς να το δει το κρατάει έτσι ώστε να το βλέπουν οι άλλοι τρεις. Στη συνέχεια ο καθένας γράφει σε ένα χαρτί τι νομίζει πως είναι το δικό του φύλλο: Μπαστούνι, Σπαθί, Καρό ή Κούπα. Ποια συνεννόηση θα έπρεπε να κάνουν από πριν ώστε ένας τουλάχιστον να μαντέψει σωστά; Απάντηση: Η συνεννόηση έχει να κάνει με το να δώσουν αριθμούς στα τέσσερα είδη, συγκεκριμένα: Μπαστούνι=0, Σπαθί=1,Καρό=2, Κούπα=3. Επίσης παίρνουν από έναν προσωπικό αριθμό και οι παίκτες, π.χ. Α=0, Β=1, Γ=2, Δ=3. Δίνουμε στη συνέχεια ένα παράδειγμα. Εστω ότι ο Α, τα χαρτιά που βλέπει των άλλων, αντιστοιχούν στους αριθμούς (Β:1, Γ:3, Δ:3), ο Β: (Α:0, Γ:3, Δ:3), ο Γ: (0, 1, 3) και ο Δ: (0, 1, 3). Ας δούμε πρώτα το πώς θα πρέπει να ενεργήσει ο καθένας από τους παίκτες, χωρίς εξήγηση. Ο Α θα αθροίσει αυτά που βλέπει στους άλλους, δηλαδή 1+3+3 =7 και θα σκεφτεί ποιον αριθμό θα πρέπει να προσθέσει σε αυτό το άθροισμα ώστε όταν κάνει την (ακέραια) διαίρεση με το 4 να πάρει υπόλοιπο 0, δηλαδή τον προσωπικό αριθμό που του έχει δοθεί από την αρχή. Αυτόν τον αριθμό, δηλαδή το 1(=Σπαθί) θα γράψει στο χαρτί του. Για τον Β θα έχουμε 0+3+3 = 6, άρα για να δώσει η διαίρεση με το 4 υπόλοιπο 1 (τον αριθμό του Β), θα πρέπει να προσθέσουμε 3, και ο Β γράφει στο χαρτί του 3, δηλαδή Κούπα. Αντίστοιχα για τους Γ και Δ προκύπτουν οι αριθμοί 2 και 3. Μια ματιά στους αριθμούς που έβλεπε ο καθένας μας πείθει πως μόνον ο Δ βρήκε το δικό του χαρτί σωστά. Αλλά δεν τελειώσαμε φυσικά εδώ. Ζητούμε από τους αναγνώστες να μας στείλουν μια όσο γίνεται καλύτερη εξήγηση του γιατί δουλεύει αυτή η λύση έτσι.