Για να πάρει ο αναγνώστης μια ιδέα για την ευρύτητα των γνώσεων του Σμούλιαν, θα αναφέρουμε δύο παραδείγματα. Το ένα σήμερα και το άλλο την επόμενη φορά. Είναι γνωστό πως έπαιζε στα δάχτυλα τη θεωρία του Γκέντελ για τη μη δυνατότητα να οικοδομηθεί ένα μαθηματικό σύστημα, κάτι σαν μια απόλυτη μηχανή, που αυτόματα θα μπορούσε να αποδείξει αν οποιαδήποτε μαθηματική πρόταση που θα της παρουσιαζόταν ήταν αληθής ή ψευδής. Ουσιαστικά ο Γκέντελ απέδειξε πως οποιοδήποτε σύστημα οικοδομημένο με προτάσεις λογικής δεν θα μπορούσε να υπάρχει χωρίς αμφισβήτηση και χωρίς να καταλήγει σε αντιφάσεις αν δεν στηριζόταν και σε προτάσεις που θα έμεναν αναπόδεικτες από αυτό το σύστημα.

Ε, ο Σμούλιαν ήταν σε θέση και να παρουσιάσει μια πολύ κομψή απόδειξη γι’ αυτό αλλά και να φτιάχνει τους μαθηματικούς του γρίφους στα βιβλία του έτσι ώστε προχωρώντας ο αναγνώστης να προχωρεί ταυτόχρονα και στην κατανόηση αυτής της μάλλον δυσνόητης σε πρώτη προσέγγιση αρχής της μη πληρότητας, κάτι που είχε παραπλανήσει ακόμα και τον ίδιο τον Μπέρτραντ Ράσελ.

Τρία αδέλφια-τρεις λέξεις

Και όμως, ποτέ δεν πήρε ύφος ανάλογο με τις δυνατότητες που είχε. Δεν δίσταζε να εμφανιστεί ακόμα και σε τηλεοπτικές βραδινές εκπομπές και να λάμψει, αφού άλλωστε πιο πριν έβγαζε χρήματα κάνοντας ταχυδακτυλουργικά νούμερα σε βραδινά κέντρα διασκέδασης. Εκτός από το να βγάζει μαντίλια και μπαλάκια από τα χέρια και τα μανίκια του παρουσιαστή, έθετε και  προβλήματα λογικής που ο οικοδεσπότης υποτίθεται θα σκεφτόταν εκείνη τη στιγμή τη λύση τους. Ενα από αυτά ήταν και το εξής: Ο Τζον, ο Τζέιμς και ο Γουίλιαμ είναι τρίδυμοι και μοιάζουν τόσο που δεν μπορείς να τους ξεχωρίσεις. Ο Τζον μού χρωστάει χρήματα. Συναντώ στον δρόμο κάποιον από τα τρία αυτά αδέλφια αλλά δεν ξέρω ποιος είναι από όλους. Μάλιστα ξέρω πως ο Τζον και ο Τζέιμς απαντούν πάντα με ψέματα, ενώ ο Γουίλιαμ λέει πάντα την αλήθεια. Μου επιτρέπεται να κάνω στον άνθρωπο που συνάντησα μόνο μία ερώτηση, και μάλιστα η ερώτηση θα περιέχει το πολύ τρεις λέξεις. Πώς θα μπορέσεις λοιπόν, ρωτάει ο Σμούλιαν, να εκμαιεύσεις την απάντηση αν αυτός πραγματικά είναι ο Τζον;

Ανατολίτικα διλήμματα

Πολλές από τις σπαζοκεφαλιές λογικής του Σμούλιαν είναι τοποθετημένες στην Ανατολή, ίσως και λόγω της ενασχόλησής του με το Ταό. Μια από τις πιο γνωστές αλλά όχι και από τις δυσκολότερες είναι αυτή με τον τίτλο «Την πριγκίπισσα ή την τίγρη;». Εχει να κάνει με έναν κατάδικο που του δίνεται μία δυνατότητα να τη γλιτώσει. Πώς; Με την επιλογή του. Εχοντας μπροστά του δύο πόρτες κλειστές, όπου πίσω από τη μία παραμονεύει η τίγρη που θέλει να τον φάει ενώ πίσω από την άλλη βρίσκεται μια πριγκίπισσα έτοιμη να τον παντρευτεί [η πριγκίπισσα τον κατάδικο(;!), εδώ η λογική παίρνει… άδεια]. Θα διαλέξει ποια πόρτα θα ανοίξει αφού διαβάσει τις πινακίδες επάνω σε κάθε πόρτα. Στην υπ’ αριθμόν 1 γράφει: «Σε αυτό το δωμάτιο βρίσκεται μια κοπέλα και στο άλλο δωμάτιο μια τίγρη». Στην υπ’ αριθμόν 2 γράφει: «Σε ένα από αυτά τα δωμάτια βρίσκεται μια κοπέλα και σε ένα από αυτά τα δωμάτια βρίσκεται μια τίγρη». Του λένε ότι η μία πινακίδα είναι ψευδής και ότι αυτό που λέει η άλλη είναι αλήθεια. Ποια πόρτα πρέπει να ανοίξει για να αντικρίσει την πριγκίπισσα; Οι απαντήσεις στο επόμενο.

Οι αναγνώστες λύνουν (και δένουν): Μια διευρυμένη (και σαφώς καλύτερη από τη δική μας) λύση έχει να προτείνει ο κ. Νίκος Βαρουχάκης, δρ Μαθηματικών και ε.τ. σύμβουλος του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου, σχετικά με το πρόβλημα του λεπτοδείκτη και της αράχνης. Εγραψε σχετικά  ότι «Οι διαδρομές που κάνουν (ο λεπτοδείκτης και η αράχνη) μπορούν απλούστερα να μετρώνται με τις διανυόμενες γραμμές, δηλαδή τα λεπτά στην περιφέρεια του ρολογιού. Ετσι, μετά την πρώτη συνάντησή τους, ο λεπτοδείκτης σε 20 λεπτά έχει διανύσει 20 γραμμές, ενώ η αράχνη, μία επιπλέον περιφέρεια, δηλαδή 60+20 = 80 γραμμές, οπότε φαίνεται το τετραπλάσιο της ταχύτητας της αράχνης.

Τώρα, ο χρόνος Χ λεπτ. που απαιτείται για την πρώτη τους συνάντηση εξαρτάται από το σημείο-γραμμή της περιφέρειας του ρολογιού Υ (= 1,2, ………… 59,60) από το οποίο ξεκινά η αράχνη.  Δεν είναι αυτονόητο ότι ξεκινά από το 6, δηλαδή Υ = 30, και ο αναγνώστης μάλλον θα έκρινε πιο λογικό ότι ξεκινάει από το 12 (δηλαδή Υ = 60) μαζί με τον λεπτοδείκτη.

Μπορεί όμως να ξεκινήσει από οποιαδήποτε γραμμή Υ της περιφέρειας. Σε κάθε περίπτωση, στα Χ λεπτά, ο λεπτοδείκτης διανύει Χ γραμμές και η αράχνη τετραπλάσιες, άρα Υ-Χ = 4 Χ, οπότε Χ = Υ/5. Αρα αν η αράχνη ξεκινά από το 6 (Υ = 30) ή το 12 (Υ = 60) ή οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειας, π.χ. Υ = 17, ο χρόνος για την πρώτη συνάντηση είναι αντίστοιχα Χ = 6, ή 12, ή 3,4 λεπτά και η τελική απάντηση προσθέτοντας τα 20 λεπτά είναι αντίστοιχα 6:26, 6:32 και 6:23:24».

Πνευματική γυμναστική

1. Αλλο ένα από τα πιο απλά του Ρέιμοντ Σμούλιαν: Εχουμε 100 πολιτικούς που ανήκουν στο ίδιο κόμμα. Ο καθένας τους είναι είτε τίμιος είτε διεφθαρμένος, τίποτε άλλο. Και δεν ανήκουν όλοι μόνο στη μία από τις δύο κατηγορίες. Διαλέγοντας στην τύχη κάθε φορά δύο από αυτούς, ο ένας τουλάχιστον ανήκει πάντα στους διεφθαρμένους. Πόσοι τίμιοι πολιτικοί περιέχονται σε αυτή την εκατοντάδα;
2. Μια γιγάντια πίτα μοιράζεται σε 100 προσκεκλημένους. Ο πρώτος παίρνει το 1%, ο δεύτερος το 2% του όσου έμεινε, ο τρίτος το 3% όσου έμεινε από τον δεύτερο και έτσι πηγαίνει μέχρι τον τελευταίο, που παίρνει πλέον το 100% από το τελευταίο κομμάτι. Ποιος από τους καλεσμένους πήρε το μεγαλύτερο κομμάτι;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Ζητούσαμε έναν τρόπο ώστε να μπορέσουμε στα γρήγορα να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση την τιμή του 264. Αυτό γίνεται ως εξής: Το 210 είναι 1.024, άρα κατά προσέγγιση 1.000. Οπότε πολλαπλασιάζοντας το 210 με τον εαυτό του έξι φορές: 210 Χ 210… φθάνουμε στο 260, το 1.000 πολλαπλασιασμένο έξι φορές με τον εαυτό του (103 Χ 103 …) δίνει 1018, δηλαδή 1 πεντάκις εκατομμύριο. Αυτό τώρα πρέπει να πολλαπλασιαστεί και με το 24 (= 16), για να φθάσουμε από τη δύναμη 60 στην 64. Επομένως μια πρώτη εκτίμηση είναι πως πρόκειται για 16 πεντάκις εκατομμύρια. Αν θέλουμε να μην αγνοήσουμε και τα 24 που κόψαμε από το 1.024, δηλαδή το 2,4%, τότε θα έχουμε 2,4 Χ επί 6 = 14,4% επιπλέον των 16, άρα περίπου 18. Ο ακριβής υπολογισμός δίνει 18 446 744 073 709 551 616. Not bad.
2. Εδώ είχαμε ένα ωραίο πρόβλημα σε μια μακρινή αγορά της Αφρικής. Εκεί που μπορείς να αγοράσεις έναν ελέφαντα δίνοντας 99 χήνες. Αν την επόμενη εβδομάδα η τιμή του ελέφαντα έχει πέσει κατά 10% και η τιμή κάθε χήνας έχει ανέβει κατά 10%, με πόσες χήνες αγοράζεις πλέον έναν ελέφαντα; Υποθέτουμε ότι προσπαθούμε να το εξηγήσουμε σε παιδιά του Δημοτικού, άρα χρησιμοποιώντας συλλογισμούς πρακτικής αριθμητικής και όχι εξισώσεις. Σκεπτόμαστε ότι αν δεν έπεφτε η τιμή του ελέφαντα αλλά μόνο ανέβαινε η τιμή της χήνας κατά 10%, τότε με 99 Χ 0,9 χήνες θα παίρναμε έναν ελέφαντα. Αλλά αφού έπεσε και η τιμή του ελέφαντα κατά 10%, τότε μπορούμε με αυτή την τιμή (99 Χ 0,9) να πάρουμε πλέον 1,1 ελέφαντα. Αρα τελικά ο ένας ελέφαντας ανταλλάσσεται πλέον με (99 Χ 0,9) / 1,1 χήνες, που δίνει ακριβώς 81.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα