Απειρο: Η σχέση του με τους αριθμούς και η σημειολογία του

Όταν ξεπερνάς τα τρισεκατομμύρια, υπάρχουν μερικοί εξαιρετικά εντυπωσιακοί αριθμοί, λέει ο Richard Fisher μέσα από το άρθρο του στο BBC.

Μερικά από αυτά τα νούμερα είναι πολύ μεγάλα για να χωρέσουν στο μυαλό ή ακόμα και στο σύμπαν.

ChatGPT: Στην κυκλοφορία η νέα εξελιγμένη έκδοση ChatGPT [γράφημα]

Ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορείτε να σκεφτείτε; Όταν ήμουν παιδί, λέει ο Φίσερ, είναι το είδος της ερώτησης που κάναμε ο ένας στον άλλον στην παιδική χαρά του σχολείου. Κάποιος θα έλεγε κάτι απελπιστικά αφελές, όπως «ένα δισεκατομμύριο δισεκατομμύρια δισεκατομμύρια», για να τον ξεπεράσει ένας συνομήλικός του που ήξερε για τρισεκατομμύρια ή τετρακισεκατομμυρια.

Απειρο συν ένα

Τελικά, κάποιος θα θυμόταν ότι ήξερε τη νικητήρια απάντηση: «άπειρο!» Όμως η αυταρέσκεια ήταν βραχύβια. Ένα άλλο παιδί σύντομα επισήμανε ότι θα μπορούσαν να το νικήσουν, με «άπειρο… συν ένα», προσθέτει.

Περισσότερα του ενός άπειρα

Το να προσπαθείς να φανταστείς και να καταλάβεις πολύ μεγάλους αριθμούς, ωστόσο, είναι κάτι περισσότερο από ένα παιχνίδι παιδικής χαράς. Είναι ένα έργο που οι μαθηματικοί έχουν σκεφτεί εδώ και αιώνες. Έχουν προτείνει την ύπαρξη αριθμών που είναι τόσο τεράστιοι και κανένας άνθρωπος δεν τους έχει φέρει ποτέ στο μυαλό πλήρως, πόσο μάλλον να τους γράψει. Και όσο για το άπειρο, αποδεικνύεται ότι υπάρχουν περισσότερα από ένα από αυτά – και, αντίθετα, μερικά άπειρα είναι μεγαλύτερα από άλλα.

Ας ξεκινήσουμε όμως με το προφανές. Δεν υπάρχει συγκεκριμένος αριθμός που θα μπορούσατε να περιγράψετε ως τον μεγαλύτερο, αφού οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι. Δεν μπορείτε λοιπόν να κερδίσετε το παιχνίδι της παιδικής χαράς.

Ωστόσο, αυτό δεν σημαίνει ότι όλοι οι μεγάλοι αριθμοί έχουν εκφραστεί, καταγραφεί… ή αναπαρασταθεί από υπολογιστές.

Η «σκάλα» των αριθμών

Ας ανεβούμε αρχικά τη «σκάλα» των αριθμών ακριβώς πέρα ​​από αυτά που χρησιμοποιούνται στην καθημερινή ζωή. Στα πρωτοσέλιδα των ειδήσεων, οι μεγαλύτεροι αριθμοί – του εθνικού χρέους, για παράδειγμα – τείνουν να εκφράζονται σε τρισεκατομμύρια. Αλλά υπάρχει μια ιεραρχία από όλο και μεγαλύτερους αριθμούς που έρχονται μετά, τα ονόματα των οποίων σπάνια αναφέρονται. Ξεκινά με τετράκισεκατομμύρια, πεντακισεκατομμύρια, εξάκις και ούτω καθεξής. Ένα τετρακισεκατομμύριο  έχει 15 μηδενικά, ένα πεντάκις έχει 18 και ένα εξάκις έχει 21.

Αυτοί οι αριθμοί είναι τεράστιοι. Το ανθρώπινο σώμα έχει περίπου 30 τρισεκατομμύρια κύτταρα – έτσι για να αποκτήσετε τετρακισεκατομμύρια κύτταρα σε ένα δωμάτιο, θα χρειαστείτε 34 άτομα. Και τα πεντακις μπαίνουν πραγματικά στο παιχνίδι μόνο αν θέλετε να μιλήσετε, ας πούμε, για πόσα έντομα υπάρχουν στη Γη (περίπου 10 κουϊντσεμ). Ο αριθμός εξάκισσεκατομμύριο, εν τω μεταξύ, είναι τόσο μεγάλος που ένας πύργος εξακισεκεταμμυριων ανθρώπων θα είχε ύψος 180.000 έτη φωτός – μεγαλύτερο από τη διάμετρο του Γαλαξία μας.

Το παράδειγμα με τον Μασκ

Μπορείτε να συνεχίσετε να ανεβαίνετε μέχρι το ένα εκατοντακισεκατομμυριο το οποίο έχει 303 μηδενικά.

Ρεαλιστικά, μόνο οι φυσικοί και οι μαθηματικοί θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν το εκατοντακσεκατομμυριο, και ακόμη και τότε, μόνο σε εξειδικευμένους τομείς όπως η θεωρία χορδών. Για να καταλάβουμε το πόσο μεγάλος είναι αυτός ο αριθμός ας πάρουμε για παράδειγμα τον πλουσιότερο άνθρωπο του πλανήτη, τον Ιλον Μασκ . Αν ήθελε να γίνει εκατοντακισεκατομμυριούχος θα έπρεπε να κερδίζει την τρέχουσα περιουσία του κάθε χιλιοστό του δευτερολέπτου για τα επόμενα 1,7 x 10^282 χρόνια , συνολικά έναν αριθμό 283 ψηφίων.

Γκούγκολ και γκούγκολ πλέγματα

Ένας άλλος μεγάλος αριθμός, που δεν είναι τόσο μεγάλος, αλλά ίσως πιο γνωστός, είναι ένα googol. Αυτό είναι ένα νούμερο που ακολουθείται από 100 μηδενικά, και τυχαίνει επίσης να έχει αποτελέσει την έμπνευση για τη γνωστή μηχανή αναζήτησης. Ωστόσο, μέχρι στιγμής το Διαδίκτυο δεν είναι τόσο μεγάλο. Μέχρι σήμερα, το Wayback Machine του Internet Archive έχει καταχωρήσει μόνο 801 δισεκατομμύρια ιστοσελίδες από τη δεκαετία του 1990.

Είναι δυνατό να μετατρεψετε ένα googol  σε ένα googol plex (το όνομα των κεντρικών γραφείων της Google στην Καλιφόρνια). Αυτός ο αριθμός είναι 10 στη δύναμη ενός googol – ή 10 στη δύναμη του 10 στη δύναμη του 100.

Για να κατανοησετε πόσο μεγάλο είναι αυτό, ο Φίσερ μιλησε με τον μαθηματικό Joel David Hamkins από το Πανεπιστήμιο Notre Dame στις ΗΠΑ, ο οποίος ετοιμαζει ένα συγγραμα για τους τεράστιους αριθμούς και το άπειρο, που ονομάζεται Infinitely More.

Ένα πλέγμα googol, εξηγεί, είναι ένα νούμερο που ακολουθείται από έναν αριθμό μηδενικών googol. Πόσο καιρό θα σας πάρει για να το γράψετε; Λοιπόν, σίγουρα δεν θα μπορούσατε να το κάνετε στη ζωή σας, ακόμα κι αν ξεκινουσατε όταν πήρατε για πρώτη φορά ένα μολύβι ως παιδί.

Το πείραμα σκέψης του Hamkins

Για να καταλάβουμε για πόσα ψηφία μιλάμε, ο Hamkins προτείνει το ακόλουθο πείραμα σκέψης.

Ας υποθέσουμε ότι σας δίνουν μία συσκευή εκτύπωσης. Εναν εξαιρετικά γρήγορο εκτυπωτή που θα τύπωνε αριθμούς, και ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, θα μπορούσε να εκτυπώνει ένα εκατομμύριο ψηφία κάθε δευτερόλεπτο. Τώρα φανταστείτε ότι άρχισε να εκτυπώνει στην αρχή του Σύμπαντος , πριν από 13,8 δισεκατομμύρια χρόνια, ακόμα και τότε θα είχατε μόνο το πιο μικροσκοπικό κλάσμα ενός γκουγκόλ.

Ο Hamkins επισημαίνει επίσης κάτι ενδιαφέρον – υπάρχουν μεγάλοι αριθμοί μικρότεροι από ένα σύμπλεγμα googol που δεν μπορούν να περιοριστούν σε μια απλούστερη σημειογραφία ή μια λέξη, και ως εκ τούτου είναι «θεμελιωδώς πέρα ​​από την κατανόησή μας». Δεν έχουν φανταστεί ή εκφραστεί ποτέ.

«Ο μόνος τρόπος να πείτε ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί είναι να πείτε τα ψηφία τους. Αλλά ακόμα κι αν εκτυπώνατε ένα εκατομμύριο ψηφία κάθε δευτερόλεπτο, από την αρχή του χρόνου, δεν θα μπορούσατε να πείτε αυτούς τους αριθμούς», λέει. “Λοιπόν, αυτή είναι μια ενδιαφέρουσα κατάσταση, γιατί σημαίνει ότι έχουμε απλές περιγραφές τεράστιων αριθμών, αλλά πολλοί αριθμοί στο ενδιάμεσο είναι εξαιρετικά δύσκολο να περιγραφούν. Υπάρχουν αριθμοί-ορόσημα που είναι απλοί ως προς την περιγραφική τους πολυπλοκότητα, αλλά υπάρχουν και αυτοι οι ωκεανοί πολυπλοκότητας ανάμεσά τους», προσθέτει.

Ο αριθμός του Γκράχαμ

Ωστόσο, οι μαθηματικοί έχουν περιγράψει αριθμούς ακόμη μεγαλύτερους από ένα σύμπλεγμα googol. Το πιο γνωστό είναι ο αριθμός του Γκράχαμ.

Σχεδιασμένο στη δεκαετία του 1970, ο μαθηματικός Ronald Graham το χρησιμοποίησε ως μέρος μιας μαθηματικής απόδειξης. Το πρότεινε για να λύσει ένα πρόβλημα σε έναν κλάδο των μαθηματικών που ονομάζεται θεωρία Ramsey, που ασχολείται με το πώς να βρεις τάξη στο χάος.

Η κατανόηση των μαθηματικών πίσω από αυτό είναι λίγο περίπλοκη, αλλά το κύριο πράγμα που πρέπει να γνωρίζουμε είναι ότι η δημιουργία τους συνεπάγεται εκθετική ικανότητα σε βαθμό πραγματικά «καταστροφικό». Ο ίδιος ο Graham εξηγεί το γιατί σε αυτό το βίντεο για το μαθηματικό κανάλι YouTube Numberphile.

Α, και πρέπει επίσης να ξέρετε ότι ακόμα κι αν προσπαθουσαρε να το γράψετε σε χαρτί, δεν θα υπήρχε αρκετός χώρος στο ορατό Σύμπαν για να το χωρέσει.

«Μια απλή έννοια»

Τι γίνεται όμως με το άπειρο; Για τον μέσο άνθρωπο, το άπειρο φαίνεται μια απλή έννοια – δεν είναι αριθμός, μάλλον κάτι που συνεχίζεται για πάντα. Ωστόσο, το αν ο ανθρώπινος νους είναι ικανός να το κατανοήσει πραγματικά είναι ένα άλλο ερώτημα.

Στη δεκαετία του 1700, ο συγγραφέας και φιλόσοφος Έντμουντ Μπερκ έγραψε ότι «το άπειρο έχει την τάση να γεμίζει το μυαλό με αυτό το είδος απολαυστικού τρόμου που είναι το πιο γνήσιο αποτέλεσμα και η πιο αληθινή δοκιμασία του υψηλού». Για τον Μπερκ, η ιδέα προκάλεσε ένα μείγμα έκπληξης και φόβου, ευχαρίστησης και πόνου, και τα δύο ταυτόχρονα.

Μεγαλύτερα άπειρα

Ωστόσο, τον επόμενο αιώνα, ο λογικός Georg Cantor πήρε την έννοια του άπειρου και την έκανε ακόμα πιο εντυπωσιακή. Κάποια άπειρα, έδειξε, είναι μεγαλύτερα από άλλα.

Πως και έτσι? Για να καταλάβετε γιατί, θεωρήστε τους αριθμούς ως «σύνολα». Εάν επρόκειτο να συγκρίνετε όλους τους φυσικούς αριθμούς (1, 2, 3, 4 κ.ο.κ.) σε ένα σύνολο και όλους τους άρτιους αριθμούς σε ένα άλλο σύνολο, τότε κάθε φυσικός αριθμός θα μπορούσε κατ’ αρχήν να συζευχθεί με έναν αντίστοιχο ζυγό αριθμό. Αυτός ο συνδυασμός υποδηλώνει ότι τα δύο σετ –και τα δύο άπειρα– έχουν το ίδιο μέγεθος. Είναι «μετρήσιμα άπειρα».

Ωστόσο, ο Cantor έδειξε ότι δεν μπορείτε να κάνετε το ίδιο με τους φυσικούς αριθμούς και τους «πραγματικούς» αριθμούς – το συνεχές των αριθμών με δεκαδικά ψηφία μεταξύ 1, 2, 3, 4 (0,123, 0,1234, 0,12345 κ.ο.κ.)

Εάν επιχειρούσατε να συνδυάσετε τους αριθμούς σε κάθε σετ, θα μπορούσατε πάντα να βρείτε έναν πραγματικό αριθμό που δεν ταιριάζει με έναν φυσικό αριθμό. Οι πραγματικοί αριθμοί είναι αμέτρητα άπειροι. Επομένως, πρέπει να υπάρχουν πολλαπλά μεγέθη του άπειρου.

Αυτό είναι δύσκολο να το αποδεχτεί κανείς, πόσο μάλλον να το απεικονίσει, αλλά αυτό συμβαίνει στο μυαλό όταν προσπαθεί να αντιμετωπίσει το μαθηματικό τεράστιο.