Οι αριθμοί πίσω από τον κώδικα QR

Έχω ξαναρχίσει να βγαίνω, συχνά, σε εστιατόρια και, αρκετές φορές, πλέον, σαρώνω κωδικούς QR, ώστε να μπορέσω να βρω σε ηλεκτρονική μορφή το menu του μαγαζιού. Είναι μία γρήγορη και εύκολη διαδικασία πίσω από την οποία κρύβονται και πάλι τα Mαθηματικά.

Το QR σημαίνει Quick Response (γρήγορη ανταπόκριση) και εφευρέθηκε το 1994 από τον Masahiro Hara από την ιαπωνική αυτοκινητοβιομηχανία Denso Wave. Ο αρχικός του σκοπός του QR ήταν να καταγράφονται τα αποθέματα στα εργοστάσια, αλλά, με τα smartphone, ξεκίνησε να αποκτά μία ευρύτερη χρήση.

Τα QR είναι, ουσιαστικά, μια δισδιάστατη έκδοση γραμμωτών κωδικών, οι οποίοι αποτελούν έναν έξυπνο τρόπο κωδικοποίησης πληροφοριών σε μια εικόνα, χρησιμοποιώντας κάθετες γραμμές διαφορετικού πάχους, οι οποίες μπορούν να ανιχνευθούν από έναν σαρωτή. Η δισδιάστατη έκδοση του Hara χρησιμοποιεί ένα τετράγωνο πλέγμα που αποτελείται από μικρά ασπρόμαυρα τετράγωνα, προφανώς εμπνευσμένο από το επιτραπέζιο παιχνίδι Go.

Η επιπλέον διάστασή του τού δίνει τη δυνατότητα αποθήκευσης περισσότερων πληροφοριών: Με τους γραμμωτούς μονοδιάστατους κώδικες να έχουν, συνήθως, τη δυνατότητα κωδικοποίησης περίπου 20 ψηφίων πληροφοριών, ένας κώδικας QR μπορεί να χωρέσει 4.000 ψηφία ή και περισσότερα, ανάλογα με την έκδοση που χρησιμοποιείται. Μια μικρή αύξηση στο πλάτος του πλέγματος μπορεί να αποφέρει μια πολύ μεγαλύτερη αύξηση στον αριθμό των διαθέσιμων μικρών αυτών τετραγώνων, βάσει του τρόπου που λειτουργεί ο τετραγωνισμός στα Mαθηματικά.

Ωστόσο, η επιπλέον αυτή δυνατότητα δεν βοηθάει απλώς στην αποθήκευση ενός μεγαλύτερου «μηνύματος», αλλά ενισχύει, παράλληλα, την ακρίβεια και την αξιοπιστία του. Το μοτίβο κωδικοποιεί έξυπνα πληροφορίες που του υποδεικνύουν ποια πορεία θα πρέπει να ακολουθήσει από μόνο του για την σάρωση, χωρίς, έτσι, να έχει σημασία ο τρόπος που θα το σαρώσετε εσείς. Διαθέτει, επίσης, πληροφορίες για τη διόρθωση σφαλμάτων, έτσι ώστε, εάν η εικόνα είναι ελαττωματική, οι πληροφορίες να μπορούν να σαρωθούν κανονικά. Στην πραγματικότητα, ανάλογα με την έκδοση που χρησιμοποιείται, ακόμη και εάν το 30% της εικόνας θεωρηθεί ελαττωματικό, ο κώδικας θα μπορεί να διαβαστεί κανονικά.

Η μέθοδος διόρθωσης που ακολουθεί είναι η μέθοδος διόρθωσης σφαλμάτων Reed – Solomon και εφευρέθηκε από τους Irving S. Reed και Gustave Solomon, το 1960. Η αρχική της χρήση προοριζόταν για τους ψηφιακούς δίσκους, έτσι ώστε να μπορούν να παίζουν, ακόμη κι αν ήταν γρατζουνισμένοι. Οι Reed και Solomon ήταν μηχανικοί, που είχαν κάνει διδακτορικό στα Mαθηματικά. Η μέθοδος αυτή που εφηύραν χρησιμοποιεί αρκετά πολύπλοκα μαθηματικά που, υπό άλλες συνθήκες, θα πιστεύαμε ότι δεν θα γινόταν σε καμία περίπτωση να συσχετιστούν με τη καθημερινή μας ζωή. Ο λόγος για τα πολυώνυμα σε πεπερασμένα πεδία.

Τα πολυώνυμα τα γνωρίζουμε, ήδη, από την άλγεβρα στο λύκειο. Πρόκειται για αλγεβρικές εκφράσεις που περιλαμβάνουν μία μεταβλητή, η οποία, συχνά, ονομάζεται x, υψώνεται σε διάφορες δυνάμεις, πολλαπλασιάζεται με διάφορους συντελεστές, και, έπειτα, προστίθενται – για παράδειγμα, x2 + ¾x + 2 ή και υψηλότερου υψηλότερου βαθμού, και παρατίθενται σε ευθεία γραμμή ως  ¾x4 + ½x3 + x2 + 2x + 1.

Σε αυτά τα παραδείγματα, οι συντελεστές είναι όλοι ρητοί αριθμοί, που επιλέγονται μεταξύ άπειρων επιλογών, αλλά θα μπορούσαν να επιλεχθούν και συντελεστές από ένα πιο περιορισμένο «πεπερασμένο πεδίο». Η θεωρία των πεπερασμένων πεδίων είναι περίπλοκη, αλλά απλοποιεί ορισμένα πράγματα, ειδικά όταν πρόκειται για πολλαπλασιασμό. Η θεωρία διόρθωσης σφαλμάτων Reed-Solomon χρησιμοποιεί ένα πεπερασμένο πεδίο με 256 στοιχεία. Όλοι οι αριθμοί σε αυτό το σύστημα μπορούν να αναπαρίστανται με μια συμβολοσειρά 8 δυαδικών ψηφίων, δηλαδή 0 και 1, σύστημα που χρησιμοποιείται από τους υπολογιστές.

Το κείμενο του «μηνύματος» μετατρέπεται, επίσης, σε δυαδικά ψηφία, οπότε το κείμενο και οι πληροφορίες διόρθωσης σφαλμάτων εκφράζονται όλα σε δυαδικό κώδικα, ο οποίος μπορεί, στη συνέχεια, να αναπαρίσταται ως ασπρόμαυρα τετράγωνα, αντί για 0 και 1. Τα μικροσκοπικά αυτά τετράγωνα, μέσα στο κύριο τετράγωνο του κώδικα QR, διαμορφώνονται με μία προκαθορισμένη σειρά. Όταν σαρώνουμε αυτόν τον κώδικα, ένας υπολογιστής διαβάζει κάπου τα δυαδικά ψηφία με την κατάλληλη σειρά, διορθώνει τυχόν σφάλματα που εντοπίζονται και ανακτά το μήνυμα, είτε πρόκειται για πληροφορίες σχετικά με ένα εργοστασιακό στοιχείο είτε για ένα site στο οποίο βλέπουμε νόστιμα πιάτα ζυμαρικών.

Δεν χρειάζεται να κατανοήσουμε τα Mαθηματικά αυτά, για να χρησιμοποιήσουμε του κώδικες QR, όταν βγαίνουμε σε κάποιο εστιατόριο. Ωστόσο, θα πρέπει να είμαστε ευγνώμονες που κάποιος το έκανε για εμάς.