Επειδή ποτέ δεν ξεχνάμε τους μικρούς μαθητές και τα βάσανά τους για να μπορέσουν να εξοικειωθούν με την ύλη των Μαθηματικών που πιστεύουμε πως πρέπει να αφομοιώσουμε, θα αναφερθούμε σήμερα στο πρόβλημα που μπήκε σε κάποιες ανάλογες με τις Πανελλαδικές εξετάσεις στην αλλοδαπή και έγινε κυριολεκτικά χαμός.

Τον Μάιο του 1982 στις Ηνωμένες Πολιτείες, μεταξύ άλλων υπήρχε και το εξής ερώτημα: Εχουμε δύο κύκλους με ακτίνες R και r (αν φανταστούμε αντί για κύκλους νομίσματα είναι πιο εύκολο να καταλάβουμε το πρόβλημα) και ο ένας, ο μικρότερος, κυλάει χωρίς να ολισθαίνει στην περιφέρεια (εξωτερικά) του μεγαλύτερου. Αν η ακτίνα του μεγαλύτερου είναι 3 φορές η ακτίνα του μικρότερου, πόσες περιστροφές θα κάνει ο μικρότερος ξεκινώντας από τυχόν σημείο, κυλώντας στην περιφέρεια του μεγαλύτερου, μέχρι να επιστρέψει εκεί που ξεκίνησε;

Οι επιλογές που προσφέρονταν από κάτω στον εξεταζόμενο ήταν: (3/2), 3, 6, (9/2) και 9. Οποιος προσπαθήσει να απαντήσει στο παραπάνω, φθάνοντας στη λύση θα καταλάβει γιατί το πρόβλημα αυτό κάποια στιγμή απασχόλησε ακόμη και τους «New York Times». Και εδώ όποιος θέλει μπορεί να σταματήσει και να ψάξει για την δική του απάντηση πριν διαβάσει παρακάτω.

Μη «προσφερόμενη» απάντηση

Είναι φανερό πως αιτία του χαμού ήταν η απουσία της σωστής απάντησης από τις προσφερόμενες στον εξεταζόμενο επιλογές. Υπήρξαν μάλιστα τρία παιδιά μόνον ανάμεσα σε πολλές χιλιάδες που τόλμησαν να γράψουν πως καμία από τις «προσφερόμενες» δεν είναι  σωστή.

Για τη λύση σκεφτόμαστε πως από το κέντρο του μεγάλου κύκλου μέχρι το κέντρο του μικρού η απόσταση είναι R + r. Αρα το κέντρο του μικρού νομίσματος καθώς κυλάει στο μεγάλο διαγράφει μια διαδρομή ίση με 2π(R + r).

Και επειδή για το μικρό νόμισμα ισχύει ότι η περιφέρειά του έχει μήκος 2πr, πόσες φορές αυτό χωράει στη διαδρομή 2π(R + r);

Θα είναι: [2π(R + r)/ 2πr], άρα (R + r)/ r =  R/r + 1 φορές. Αν λοιπόν η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι 3 φορές μεγαλύτερη, ο μικρός κύκλος θα κάνει 3 + 1 = 4 περιστροφές.

Και για να μην κλείσουμε έτσι απλά το θέμα αξίζει να αναφέρουμε πως:

• Το παραπάνω βοηθάει στο να καταλάβουμε τη σχετική κίνηση της Γης και τη λεγόμενη αστρική ημέρα.
• Είναι εξαιρετικό εργαλείο για να κινήσουμε το ενδιαφέρον των μικρών μαθητών.
• Πρέπει να σκεφθούμε και να εξηγήσουμε πώς προκύπτει αυτός ο +1 έξτρα κύκλος.
• Τι γίνεται όταν ο λόγος των δύο ακτίνων δεν είναι ακέραιος αλλά π.χ. ένας ρητός του τύπου (11/3);

Πνευματική Γυμναστική

1. Δύο φίλοι που ταξιδεύουν με το αυτοκίνητο, αρχίζουν να μετρούν κάποιες πινακίδες τοποθετημένες στην άκρη του δρόμου, σε ίσες αποστάσεις μεταξύ τους. Αποφασίζουν να βρουν αυτή τη μεταξύ τους απόσταση. Με το αυτοκίνητο σε σταθερή ταχύτητα και το χρονόμετρο του κινητού ανά χείρας, από τη μέση περίπου του διαστήματος μεταξύ δύο πινακίδων ο συνοδηγός αρχίζει το μέτρημά τους για ένα λεπτό. Οταν πέρασε το λεπτό και ο συνοδηγός λέει πόσες ήταν, ο οδηγός αναφωνεί: «Τι σύμπτωση, αν το πολλαπλασιάσεις επί 10 βγαίνει η ταχύτητα του αυτοκινήτου τώρα». Πόσο απείχαν μεταξύ τους οι πινακίδες;

2. Σε μια σχολή σε κάποιο έτος φοιτούν 100 σπουδαστές. Μια ημέρα της εβδομάδας ήταν στα μαθήματα το 99% των σπουδαστών. Και αυτήν ακριβώς την ημέρα μεταξύ των παρόντων ήταν το 98% των σπουδαστών που είχαν ξανθά μαλλιά. Πόσοι σπουδαστές συνολικά έχουν ξανθά μαλλιά;

Οι απαντήσεις στα προηγούμενα κουίζ

1. Ο μάγος καλεί στη σκηνή ένα νεαρό ζευγάρι. Δείχνει στον άνδρα ένα φύλλο χαρτί όπου είναι γραμμένες για να γίνουν οι εξής δύο πράξεις: 0 + (8/9) + (8/1) και (6/8)(9/6)(8/9). Του λέει να γράψει σε ένα χωριστό χαρτί το αποτέλεσμα των δύο πράξεων. Στη συνέχεια δείχνει τα χαρτί και στην κοπέλα και την προτρέπει να κάνει και εκείνη τις πράξεις και να γράψει τα αποτελέσματα σε ένα άλλο χαρτί. Οταν όμως παίρνει τα δύο χαρτιά με τα αποτελέσματα διαπιστώνει ότι οι δύο κάπου έχουν βρει πολύ διαφορετικό αποτέλεσμα. Πώς συνέβη αυτό; «Σερσέ λε μαζισιέν», δηλαδή ο μάγος, πριν δείξει το χαρτί με τις σημειωμένες πράξεις (εννοείται πως οι αριθμοί είχαν γραφτεί με τον πλέον κατάλληλο τρόπο), έκανε ταχυδακτυλουργικά μια περιστροφή κατά 180 μοίρες οπότε η κοπέλα διάβαζε: (1/8) + (6/8) + 0 = και (6/8)(9/6)(8/9), οπότε στο άθροισμα μόνον είχαν διαφορά και αυτό ήταν που δεν μπορούσαν να καταλάβουν πώς συνέβαινε.

2. Ο ίδιος μάγος στη συνέχεια καλεί πέντε άτομα στη σκηνή. Τους βάζει να καθίσουν και λέει ότι θα κολλήσει στα μέτωπά τους από μια αυτοκόλλητη βούλα που θα έχει μαύρο ή άσπρο χρώμα. Ο καθένας θα βλέπει τα μέτωπα των άλλων αλλά δεν θα γνωρίζει το χρώμα της δικής του. Στη συνέχεια τους λέει: αν δείτε τρεις μαύρες βούλες θέλω να σηκωθείτε. Και όποιος καταλάβει το χρώμα της δικής του βούλας να σηκώσει το χέρι του. Μετά από δύο λεπτά ένας παίκτης σηκώνει το χέρι του. Ποιο χρώμα είχε η βούλα του; Επαιξαν όλοι οι παίκτες ισότιμα; Ξεκινάμε εξετάζοντας τους πιθανούς συνδυασμούς που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν: 1) 5 μαύρες, 2) 4 μαύρες, 1 άσπρη, 3) 3 μαύρες, 2 άσπρες, 4) 2 μαύρες, 3 άσπρες, 5) 1 μαύρη 4 άσπρες, 6) 5 άσπρες. Το γεγονός ότι κάποιος σήκωσε το χέρι του τελικά, σημαίνει πως σίγουρα δεν είχαμε 5 άσπρες. Αν πάλι είχαμε 5 μαύρες όλοι θα έβλεπαν από 4 μαύρες και δεν θα μπορούσαν να καταλάβουν αν η δική τους ήταν μαύρη ή άσπρη, άρα κανείς δεν θα σήκωνε το χέρι του τελικά. Οι συνδυασμοί 4 και 5 αποκλείονται επίσης γιατί κανείς δεν θα έβλεπε 3 μαύρες βούλες. Ο συνδυασμός 3 αποκλείεται διότι μόνον όσοι είχαν λευκές βούλες θα έβλεπαν 3 μαύρες στα μέτωπα των άλλων και θα σηκωνόταν αμέσως και θα καταλάβαιναν σε χρόνο μηδέν ότι αυτοί είχαν λευκές βούλες οπότε δεν θα χρειαζόταν να περάσει χρόνος για να το σκεφτούν. Αρα ο συνδυασμός που μένει είναι αυτός με 4 μαύρες και 1 άσπρη. Οποιος έχει την άσπρη δεν θα είναι σε θέση να βγάλει συμπέρασμα για το δικό του χρώμα. Ενας όμως από αυτούς που έχουν μαύρη βούλα βλέπει 3 μαύρες και 1 άσπρη. Σηκώνεται όρθιος και βλέπει (τουλάχιστον) έναν ακόμη από αυτούς με τη μαύρη βούλα να σηκώνεται όρθιος. Από αυτό καταλαβαίνει ότι ο απέναντι, εκτός από τις 2 μαύρες που βλέπουν από κοινού, βλέπει και τη δική του που πρέπει να είναι μαύρη. Και φυσικά ο καθένας από τους 4 με τις μαύρες βούλες θα μπορούσε να κάνει τους ίδιους συλλογισμούς. Αρα μετά από ένα μικρό χρονικό διάστημα για να σκεφτεί όλα αυτά ο πιο γρήγορος σήκωσε το χέρι του. Προφανώς το παιχνίδι δεν παίχτηκε ισότιμα αφού ο άνθρωπος με την άσπρη βούλα όπως είδαμε δεν ήταν σε θέση την ίδια στιγμή να βγάλει συμπέρασμα.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα